The phenomenology of small-scale turbulence
K. R. Sreenivasan, R. A. Antonia;
ARFM, 1997, 29, 435
ABSTRACT:\section{Description th\'eorique de la turbulence}
\begin{itemize}
\item Grandes \'echelles:\\
de l'ordre de l'\'ecoulement, contiennent la majeure partie de
l'\'energie et dominent le transport d'\'energie, de masse et de chaleur.\\
\item Petites \'echelles:\\
Contiennent le r\'egime inertiel et le r\'egime de dissipation. Les \'echelles
du r\'egime inertiel sont grandes devant les \'echelles de dissipation mais petites
devant les grandes \'echelles.
\end{itemize}
\subsection{Description de Kolmogorov}
Pr\'emisses du travail de \cite{kolmogorov41} (K41):
\begin{enumerate}
\item Lorsque la viscosit\'e $\nu$ est petite, l'\'energie moyenne de dissipation $<\epsilon>$
est ind\'ependant de $\nu$.
\item La turbulence \`a petite \'echelle \`a grand Re est statistiquement ind\'ependante
des grandes \'echelles, homog\`ene, isotrope et stable (steady).
\end{enumerate}
\`A partir de ces hypoth\`eses K41 conclut que:
\begin{enumerate}
\item Les propri\'et\'es statistiques des \'echelles de dissipation sont universellement
d\'etermin\'ees par $\nu$ et $<\epsilon>$.
\item Les propri\'et\'es statistiques du r\'egime inertiel sont universellement
d\'etermin\'ees uniquement par $<\epsilon>$.
\end{enumerate}
{\bf $<\epsilon>$ est est un vecteur qui est d\'ecrit par les $(\partial u_i/\partial x_i)^2$}.
Une cons\'equence directe de la deuxi\`eme conclusion de K41 est que, dans le r\'egime inertiel, les moments
des incr\'ements de vitesse (o\`u ce que l'on nomme la fonction de structure longitudinale)
ob\'eissent \`a:
\begin{equation}
\label{pdfincr}
\left<\Delta u^n_r\right> = C_n(r<\epsilon>)^{n/3}
\end{equation}
o\`u
$$\Delta u_r \equiv u(x+r)-u(x).$$
Ici $u$ esl la vitesse dans la direction $x$ et $r$ est une distance mesur\'e selon l'axe $x$
(c'est pourquoi l'on parle de fonction de structure longitudinale). {\bf Une \'equation semblable peut
\^etre \'ecrite pour $r$ perpendiculaire \`a l'axe $x$ (\`a trouver).}
Une solution exacte existe uniquement pour la fonction de structure d'ordre 3 \cite[]{kolmogorov41a}.
Ainsi, dans le regime inertiel:
\begin{equation}
\left<\Delta u^3_r\right> = -\frac{4}{5} r <\epsilon>.
\end{equation}
{\bf Il faut v\'erifier que cette relation est la m\^eme pour la fonction de structure transverse.}
L'interpr\'etation de ce troisi\`eme moment non-nul est que le flux d'\'energie des grandes \'echelles
vers les plus petites est unidirectionnel en moyenne. Cette \'equation est uniquement valable
dans le cas d'un champ globalement homog\`ene.
La version spectrale de l'\'equation~\ref{pdfincr} est, dans le cas $n=2$:
\begin{equation}
\phi(k_1) = C<\epsilon>^{2/3}k_1^{-5/3}
\end{equation}
o\`u $\phi(k_1)$ est le spectre d'\'energie unidimensionel, $k_1$ le nombre d'onde
dans la direction $x$ et $C$ est la constante de Kolmogorov. \cite{sreenivasan95} montre
que $C$ est approximativement constant ($0.5 \pm 0.05$) pour un grand domaine de Re.
Il existe \'egalement une \'equation d'\'echelle pour le domaine de dissipation (voir
\cite{sreenivasan97}).
\subsection{\'Ecarts \`a la loi de Kolmogorov}
La description K41 ne fonctionne pas tout \`a fait bien. Voici quelques faits exp\'erimentaux
qui vont \`a l'encontre de la th\'eorie K41.
\begin{itemize}
\item Les ailes des pdfs changent avec $r$ (au lieu d'\^etre invariant)
\item Les $C-n$ d\'ependent de l'\'ecoulement
\item Le skewness et "flatness factor" des d\'eriv\'ees de vitesse varient avec le Re.
\end{itemize}
Une raison de ces \'ecarts est la forte variabilit\'e du taux de dissipation d'\'energie
attribu\'e par \cite{obukhov62} aux fort "change of the large scale processes". La suggestion
d'Obukhov est de remplacer $<\epsilon>$ par un $\epsilon$ moyenn\'e localement:
\begin{equation}
\epsilon_r = \frac{1}{V}\int\epsilon(x)\, dx,
\end{equation}
o\`u $V$ est un volume de dimension lin\'eaire $r$. Lorsqu'on regarde des r\'egions suffisamment
grande devant $r$ on observe une moyenne des $\epsilon$ locaux qui correspond bien au
$<\epsilon>$ de Kolmogorov. Dans cette approche le comportement des PDFs (et de la fonction
de structure) est un peu diff\'erente...a voir.....
Si la description d'Obukhov est correcte, l'\'equation~\ref{pdfincr} n'est plus universellement
vraie mais une loi d'\'echelle universelle doit tout de m\^eme exister:
\begin{equation}
\label{pdfincr_ob}
\left<\Delta u^n_r\right> /u_0^n = C_n^\prime(r/L)^{\zeta_n},
\end{equation}
o\`u la vitesse \`a grande \'echelle $u_0$ et la constante $C_n^\prime$ ne sont pas universelle
mais l'exposant $\zeta_n$ oui (malgr\'e qu'il ne soit pas n\'ecessairement $n/3$).
{\sl C'est cette forte variation du taux de dissipation d'\'energie que l'on nomme intermittence
dissipative. }
\subsection{Intermittence}
L'intermittence montre deux comportements aux \'echelles de dissipation (Batchelor et Townsend 1949):
Le comportement non-Gaussien des PDFs d'une quantit\'e dissipative augmente vers les petites \'echelles
ou lorsque le nombre de Reynolds augmente.
Dans le r\'egime inertiel, il semble que des ailes soient \'egalement pr\'evues dans les PDFs mais ce
n'est pas clair dans \cite{sreenivasan97}... \`a revoir...
\subsubsection{Intermittence dissipative}
Si je comprend bien, la dissipation d'\'energie ne se fait pas uniform\'ement dans l'espace (c'est
l'id\'ee d'Obukhov - $<\epsilon>$ n'est pas une bonne description, il faut plut\^ot regarder
localement $\epsilon_r$). Par contre lorsqu'on regarde \`a des assez grandes \'echelles on
voit que $<\epsilon_r> \sim <\epsilon>$ (o\`u $<\epsilon_r>$ est la dissipation $\epsilon$
moyenn\'ee sur une dimension $r$ situ\'ee dans le domaine inertiel).
En fait, $<\epsilon_r>$ suit une loi de puissance en fonction de $r$:
\begin{equation}
\label{pl_epsilon}
\left<\epsilon_r^q\right>\left<\epsilon\right>^q \propto \left(r/L\right)^{-\nu_q}.
\end{equation}
\cite{sreenivasan97} \'ecrit que la relation entre $\nu_q$ et $q$ est non-triviale. Elle d\'epend
des {\sl "Dimensions g\'en\'eralis\'ees $D_q$" (Mandelbrot 1974)}.
\begin{equation}
\nu_q = (q-1)(1-D_q),
\end{equation}
La relation entre $D_q$ et $q$ est reli\'e aux propri\'et\'es multifractales de la dissipation.
Plusieurs exp\'eriences ont \'et\'e men\'ees pour \'etudier le comportement de $\nu_q$ vs $q$.
On a trouv\'e $v_2 = 0.25 \pm 0.05$ (sreenivasan 1993).
{\bf ENSTROPHY = mean square vorticity page 442-443 de \cite{sreenivasan97}}.
\noindent
{\bf Scalar dissipation:}\\
Il semble que la dissipation scalaire $\chi$ soit plus facile \`a mesurer (je ne comprend
pas car il parle des 3 composantes de la dissipation scalaire...). $\chi$ suit \'egalement une
loi exponentielle comme l'\'equation~\ref{pl_epsilon} mais il semble que $\chi$ soit
encore plus intermittent que $\epsilon$.
\subsubsection{Intermittence en r\'egime inertiel}
L'exposant $\zeta_n$ de l'\'equation~\ref{pdfincr} peut \^etre d\'etermin\'e par la pente
de la fonction de structure des vitesse dans le r\'egime inertiel. Par contre il semble y avoir une
ambiguit\'e sur la valeur de l'exposant (il semble varier selon le type d'\'ecoulement).
Le travail de \cite{anselmet84} est encore la r\'ef\'erence \`a ce niveau. Il y a un bon graphique
(figure 3) dans \cite{sreenivasan97} sur la variation de l'exposant avec $n$.
\subsubsection{Relation entre les \'echelles dissipatives et le r\'egime inertiel}
En 1962, Kolmogorov a corrig\'e ses id\'ees de 1941 \`a la lumi\`ere des travaux de \cite{obukhov62};
c'est le RSH (Refined Similarity Hypothesis). Il affirme que l'incr\'ement de vitesse sur
une s\'eparation $r$ dans le domaine inertiel est reli\'e \`a $\epsilon_r$:
\begin{equation}
\label{RSH}
\Delta u_r = V\left(r \epsilon_r \right)^{1/3},
\end{equation}
o\`u $V$ est une constante universelle.
La RSH affirme que la variable universelle n'est pas $\Delta u_r/(r<\epsilon>)^{1/3}$ mais plut\^ot
$\Delta u_r/(r\epsilon_r)^{1/3}$ en accord avec \cite{obukhov62}. La RSH n'a \'et\'e test\'e que
r\'ecemment et \c{c}a semble marcher exp\'erimentalement.
\cite{sreenivasan97} montre que dans l'approximation RSH:
\begin{equation}
\zeta_q = \left(\frac{q}{3} -1\right)D_{q/3} +1.
\end{equation}
Si $D_q=1$, ce qui veut dire que la dissipation est uniformement r\'epartie
spatialement, on retrouve l'expression de K41 $\zeta_q = q/3$. En fait l'intermittence
n'est pas pr\'esente dans la description si $D_q$ est une constante ind\'ependante de $q$.
{\bf On a de l'intermittence uniquement lorsque $D_q$ varie avec $q$}. Ainsi, si RSH est
valide l'intermittence en r\'egime inertiel est directement reli\'ee \`a l'intermittence
aux \'echelles dissipatives.
\subsection{Probability Density Functions}
Les ailes des PDFs des increments de vitesse peuvent \^etre fitt\'e par des exponentielles.
Les PDFs de vorticit\'e semble \^etre tr\`es explicite. Les ailes sont tr\`es apparentes
et bien ajust\'ees par une exponentielle tandis que le coeur est Gaussien. \`A tr\`es haut
nombre de Reynolds, le coeur Gaussien disparait presque totalement. Il n'y a pas d'explication
th\'eorique pour ce comportement.
\subsection{Derivative Skewness and Flatness Factors}
K41 pr\'evoit que le {\sl flatness factor et le skewness} des d\'eriv\'ees de vitesse sont constant.
Par contre les observations montrent que ces 2 valeurs augmentent monotoniquement avec Re.
\cite{sreenivasan97} montre deux figures o\`u on retrouve le skewness et le flatness factor
de $\partial u/\partial x$ en fonction de $R_\lambda$. {\it On peut donc \`a partir de ces
graphique estimer le nombre de Reynolds de nos objects. Par contre ils montrent la d\'eriv\'ee
longitudinale et nous il nous faut la d\'eriv\'ee transverse.....\`a voir}. Les simulations
num\'eriques ont montr\'e que
le flatness factor de $\partial u/\partial y$ est plus grand et augmente plus vite que
celui de $\partial u/\partial x$ (\cite{sreenivasan97} page 459). {\bf En g\'en\'eral
les simulations num\'eriques reproduisent bien les observations au niveau des exposants.
Ca nous indique que la r\'eponse \`a la turbulence est bel et bien dans l'\'equation de
Navier-Stokes}.
\subsection{Structure spatiale et cin\'ematique}
Les descriptions pr\'ec\'edemment faites ne concernent qu'une description statistique de
la turbulence mais ne tiennent pas compte du fait que les mouvements turbulents sont
structur\'e et contiennent des vortex. Les \'etudes faites sur le sujets montrent qu'il
existe une relation directe entre les zones de vorticit\'e et les r\'egions de dissipation.
{\it Il y a une section sur la relation entre la vorticit\'e, la dissipation et le "strain rate"
qui m\'echappe....\`a revoir...peut-\^etre dans kerr85}.
Toutes les simulations montrent des tubes, feuilles et blobs de vorticit\'e qui sont persistant.
Leur origine n'est pas bien comprise. En particulier, la vortivit\'e intense est souvent
concentr\'ee en tubes. \`A des amplitudes de vorticit\'e plus faible, les tubes deviennent
des feuilles et ensuite perdent leur structure. Des r\'egions de dissipation mod\'er\'ee \`a intense
apparaissent autour des tubes de vorticit\'e. Les zones de plus forte dissipation se trouvent dans les
grandes feuilles proche des feuilles de $\omega^2$.
Les simulations montrent que les tubes sont long de diam\`etre de l'ordre de $\eta$ et de longueur $L$.
\'Etant donn\'e que les tubes de vortex sont associ\'es \`a de fortes amplitudes de vorticit\'e,
on peut penser qu'ils jouent un grand r\^ole dans l'\'ecart au comportement Gaussien des
d\'eriv\'ees de vitesse et des fluctuations de vorticit\'e.
Peu d'observations de filaments sont disponibles \cite[]{cadot95}.
KEYWORDS: turbulence
PERSOKEY:turbulence, ,
CODE: sreenivasan97